Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado: febrero 2011

Movimiento acelerado en mecánica cuántica

En 1975, Stephen Hawking conjeturó que cerca del horizonte de eventos de un agujero negro debía aparecer una producción de partículas cuyo espectro de energías correspondería con la de un cuerpo negro cuya temperatura fuera inversamente proporcional a la masa del agujero.

En un análisis de observadores acelerados, Paul Davies probó que el mismo argumento de Hawking era aplicable a estos observadores (observadores de Rindler).^[2]

En 1976, Bill Unruh basándose en los trabajos de Hawking y Davies, predijo que un observador uniformemente acelerado observaría radiación de tipo Hawking donde un observador inercial no observaría nada. En otras palabras el efecto Unruh afirma que el vacío es percibido como más caliente por un observador acelerado.^[3] La temperatura efectiva observada es proporcional a la aceleración y viene dada por:

$kT = \frac{\hbar a}{2\pi c}$

Donde:

$k\,$ , constante de Boltzmann.

$\hbar$ , constante de Planck racionalizada.

$c\,$ , velocidad de la luz.

$T\,$ , temperatura absoluta del vacío, medida por el observador acelerado.

$a\,$ , aceleración del observador uniformemente acelerado.

De hecho el estado cuántico que percibe el observador acelerado es un estado de equilibrio térmico diferente del que percibe un observador inercial. Ese hecho hace de la aceleración una propiedad absoluta: un observador acelerado moviéndose en el espacio abierto puede medir su aceleración midiendo la temperatura del fondo térmico que le rodea.

Esto es similar al caso relativista clásico, en donde un observador acelerado que observa una carga eléctrica en reposo respecto a él puede medir la radiación emitida por esta carga y calcular su propia aceleración absoluta.

Movimiento acelerado en Mecánica Relativista

En Mecánica Relativista no existe un equivalente exacto del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que se tiene es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del MUA de la mecánica clásica.

La ecuación de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es:

(4) $\begin{cases} \cfrac{d}{dt}\left( \cfrac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right) = \cfrac{F}{m_0} = w\\ v(0) = 0 \end{cases}$

Donde w es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa). De hecho la aceleración bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por:

$a(t) = \frac{w}{\left(1+\frac{w^2t^2}{c^2}\right)^\frac{3}{2}}$

La integral de (4) es sencilla y viene dada por:

(5) $\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = wt \qquad \Rightarrow \qquad v(t) = \frac{wt}{\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}}$

E integrando esta última ecuación, suponiendo que inicialmente la partícula ocupaba la posición x = 0, se llega a:

(6) $x(t) = \frac{c^2}{w}\left[\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}} -1 \right]$

En este caso el tiempo propio de la partícula acelerada se puede calcular en función del tiempo coordenado t mediante la expresión:

(7) $\tau = \frac{c}{w}\ln \left[\frac{wt}{c} + \sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}\right]$

Todas estas expresiones pueden generalizarse fácilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es más complicada que la parábola, tal como sucede en el caso clásico cuando el movimiento se da sobre un plano.

Problemas de MRUA

1. Un robot mensajero viaja a 1m/s en línea recta por la rampa de una nave espacial, si acelera uniformemente a 3m/s durante 3s ¿Cuál es la magnitud de su aceleración?

Vo=1m/s Vf=Vo+a.t a=3m/s

Vf=2.5m/s a=Vf-Vo/t

t=0.5s

a=2.5m/s-1m/s/0.5s =3m/s

2. Un corredor que parte del reposo acelera en línea recta a una aceleración de 5.5 durante 6s. ¿Cuál es la velocidad del corredor al final de este tiempo? Si un paracaidas se abre en este momento hace que el corredor desacelere uniformemente con una aceleración de 2.4 ¿Cuánto taradar en detenerse?, ¿Qué tanto avanzó?, Si una pared se encuentra a 220m de distancia se estrello o no?

Vf=? Vf=Vo+a.t

Vo=0 Vf=0+5.5(6s) Vf=33m/s

a=5.5m/s 2

t=Vf-Vo/a

t=0m/s-33m/s/-2.4=13.75s

t=13.75s

d=Vot+1/2at2

d=0+1/2(-2.4m/s)(13.75)(13.75)

d=226.875m

SI SE ESTRELLO

3. Un coche que se mueve con MRUV tiene en un determinado

momento una velocidad de 30 m/s y 10 segundos después

una velocidad de 40 m/s. Calcular su aceleración.

a= vf- vo

tf- to

a= 40 m/s. 30 m/s
10 seg

a = 10 m/seg

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en mecánica newtoniana

En mecánica clásica el movimiento uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales:

La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes.
La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.
La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.

La figura muestra las relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parábola), velocidad (recta con pendiente) y aceleración (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la caída libre (con velocidad inicial nula).

El movimiento MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemáticas, respectivamente, son:

(1) $a(t) = a = \frac{F}{m} = \frac{d^2x}{dt^2}$

En el movimiento rectilíneo acelerado, la aceleración instantánea es representada como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente la función v(t).

La velocidad v para un instante t dado es:

(2a) $v(t)=at+ v_0 \,$

siendo $v_0\,$ la velocidad inicial.

Finalmente la posición x en función del tiempo se expresa por:

(3) $x(t) = \frac {1}{2} a t^2 + v_0t + x_0$

donde $x_0\,$ es la posición inicial.

Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez del móvil. Ésta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y sustituyendo el resultado en (3):

(2b) $v^2= 2 a (x - x_0) + v_0^2 \,$

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante.

Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.

También puede definirse el movimiento como el que realiza una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado (MUA).

El movimiento rectilíneo uniformemente variado se caracteriza porque su trayectoria es una línea recta y el módulo de la velocidad varía proporcionalmente al tiempo lo que determina una aceleración constante.

Este movimiento puede ser acelerado si el módulo de la velocidad aumenta a medida que transcurre el tiempo y retardado si el módulo de la velocidad disminuye en el transcurso del tiempo.

Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v₀ entre los instantes t₀ y t, mediante integración, o gráficamente.

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

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sábado, 26 de febrero de 2011

Movimiento acelerado en mecánica cuántica

Movimiento acelerado en Mecánica Relativista

Problemas de MRUA

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en mecánica newtoniana

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado