Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado: Movimiento acelerado en Mecánica Relativista

En Mecánica Relativista no existe un equivalente exacto del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que se tiene es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del MUA de la mecánica clásica.

La ecuación de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es:

(4) $\begin{cases} \cfrac{d}{dt}\left( \cfrac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right) = \cfrac{F}{m_0} = w\\ v(0) = 0 \end{cases}$

Donde w es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa). De hecho la aceleración bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por:

$a(t) = \frac{w}{\left(1+\frac{w^2t^2}{c^2}\right)^\frac{3}{2}}$

La integral de (4) es sencilla y viene dada por:

(5) $\frac{v}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = wt \qquad \Rightarrow \qquad v(t) = \frac{wt}{\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}}$

E integrando esta última ecuación, suponiendo que inicialmente la partícula ocupaba la posición x = 0, se llega a:

(6) $x(t) = \frac{c^2}{w}\left[\sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}} -1 \right]$

En este caso el tiempo propio de la partícula acelerada se puede calcular en función del tiempo coordenado t mediante la expresión:

(7) $\tau = \frac{c}{w}\ln \left[\frac{wt}{c} + \sqrt{1+\frac{w^2t^2}{c^2}}\right]$

Todas estas expresiones pueden generalizarse fácilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es más complicada que la parábola, tal como sucede en el caso clásico cuando el movimiento se da sobre un plano.

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

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sábado, 26 de febrero de 2011

Movimiento acelerado en Mecánica Relativista

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